الفصل -9- خصائص من الأسهم ، خيارات

خصائص خيارات الأسهم الفصل 9 1 الخيارات والعقود الآجلة وغيرها من المشتقات، الطبعة السابعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2008. عرض حول الموضوع: خصائص خيارات الأسهم الفصل 9 1 الخيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة السابعة، حقوق الطبع والنشر جون C هول 2008. عرض النص: 1 خصائص خيارات الأسهم الفصل 9 1 الخيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة السابعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2008 2 الخيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات الطبعة السابعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 20082 الملاحظة ج. سعر الخيار الأوروبي السعر: السعر الأوروبي سعر الخيار S 0: سعر السهم اليوم K: سعر الإضراب T: حياة الخيار: تقلب سعر السهم C: سعر خيار الاتصال الأمريكي P: سعر خيار الشراء الأمريكي ست: سعر السهم عند استحقاق الخيار D : القيمة الحالية لأرباح الأسهم خلال خيارات الحياة r: معدل الخالية من المخاطر للاستحقاق T مع كونت كومب 3 الخيارات والمستقبلات وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 20083 تأثير المتغيرات على تسعير الخيارات (الجدول 9.1، الصفحة 202 ) كبكب متغير S0S0 كت R D. 4 خيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هال 20084 الأمريكية مقابل خيارات أوروبية الخيار الأمريكي يستحق على الأقل بقدر ما هو الخيار الأوروبي المقابلة C ج P ص 5 الخيارات والعقود الآجلة، وغيرها من المشتقات 7 إديتيون، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 20085 المكالمات: فرصة تحكيم افترض أن c 3 s 0 20 t 1 r 10 k 18 d 0 هل هناك فرصة المراجحة 6 خيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هال (2008، الصفحة 207) كحد أقصى (S 0 كي رت، 0) 7 الخيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 20087 يضع: فرصة تحقيق أرباح افترض أن هناك فرصة المراجحة p 1 S 0 37 T 0.5 r 5 K 40 D 0 8 الخيارات والمستقبلات وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هال 20088 الحد الأدنى لأسعار وضع الأوروبي لا توزيعات الأرباح (المعادلة 9.2، صفحة 208) p ماكس (كي - rT S 0، 0) 9 الخيارات، العقود الآجلة ، والمشتقات الأخرى الطبعة السابعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 20089 المساواة في المكالمة بدون توزيعات أرباح (المعادلة 9.3، الصفحة 208) النظر في المحافظتين التاليتين: المحفظة A: الدعوة الأوروبية على المخزون بف من سعر الإضراب نقدا المحفظة C : وضع الأوروبي على الأسهم الأسهم كلاهما يستحق ماكس (ست، K) في نضج الخيارات ولذلك يجب أن تكون تستحق نفس اليوم. وهذا يعني أن c ك - rT p S 0 10 خيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 200810 الفرص التحكيم افتراض أن ج 3 S 0 31 T 0.25 ص 10 K 30 D 0 ما هي إمكانيات المراجحة عندما p 2.25. p 1. 11 الخيارات والعقود الآجلة وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هال 200811 التمرين المبكر عادة ما يكون هناك بعض احتمال أن يتم ممارسة خيار أمريكي في وقت مبكر استثناء هو دعوة أمريكية على الأسهم غير توزيع الأرباح هذا لا ينبغي أبدا أن تمارس في وقت مبكر 12 خيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هال 200812 للحصول على خيار المكالمات الأمريكية: S 0 100 T 0.25 K 60 D 0 يجب أن تمارس على الفور ماذا يجب أن تفعل إذا كنت ترغب في عقد الأسهم لل 3 أشهر القادمة كنت لا تشعر أن الأسهم يستحق عقد لمدة 3 أشهر المقبلة الوضع المتطرفة 13 الخيارات والعقود الآجلة، وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هال 200813 أسباب عدم ممارسة مكالمة في وقت مبكر (لا توزيعات الأرباح) لا يتم التضحية بأي دخل يتم تأجيل دفع ثمن الإضراب عقد المكالمة يوفر التأمين ضد سعر السهم دون سعر الإضراب 14 الخيارات والعقود الآجلة وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2 00814 يجب أن يتم ممارسة في وقت مبكر. هل هناك أي مزايا لممارسة الأمريكيين عندما S 0 60 T 0.25 ص 10 K 100 D 0 15 الخيارات والعقود الآجلة وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هال 200815 تأثير توزيعات الأرباح على الحدود الدنيا لأسعار الخيارات ( المعادلات 9.5 و 9.6، الصفحات 214-215) 16 الخيارات والعقود الآجلة وغيرها من المشتقات 7 الطبعة، حقوق الطبع والنشر جون C. هال 200816 تمديدات التكافؤ في الدعوى الخيارات الأمريكية D 0 S 0 - K 0 c D كي - rT p S 0 المعادلة 9.7، ص 215) الخيارات الأمريكية D 0 S 0 - D - K 0 c D كي - rT p S 0 (المعادلة 9.7، ص 215) الخيارات الأمريكية D 0 S 0 - D - تشابتر 10 خصائص المخزون خيارات الخيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 1. عرض حول الموضوع: الفصل 10 خصائص خيارات خيارات الأسهم والعقود الآجلة وغيرها من المشتقات، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 1. عرض تقديمي النص: 1 الفصل 10 خصائص خيارات خيارات الأسهم، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 1 2 خيارات التدوين والعقود الآجلة وغيرها من المشتقات، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 20122 ج: سعر خيار الشراء الأوروبي p: سعر خيار الشراء الأوروبي S0: S0: سعر السهم اليوم K: سعر الإضراب T: حياة الخيار: : تقلب سعر السهم C: سعر خيار المكالمة الأمريكية P: سعر خيار الشراء الأمريكي ست: ست: سعر السهم عند استحقاق الخيار D: بف من أرباح الأسهم المدفوعة خلال عمر الخيار r معدل الخالية من المخاطر للاستحقاق T مع كونت. شركات. 3 تأثير المتغيرات على تسعير الخيارات (الجدول 10-1، الصفحة 215) الخيارات والمستقبلات وغيرها من المشتقات، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 كبب متغير S0S0 K T. r D 3 4 خيارات الخيارات الأوروبية والعقود الآجلة الأمريكية مشتقات أخرى، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 4 الخيار الأمريكي يستحق على الأقل ما يعادل الخيار الأوروبي المقابل C c P p 5 يدعو: فرصة التحكيم لنفترض أن هناك فرصة المراجحة الخيارات والعقود المستقبلية، وغيرها المشتقات المالية، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 5 c 3 S 0 20 T 1 r 10 K 18 D 0 6 الحد الأدنى لخيار خيار المكالمات الأوروبية لا توزيعات الأرباح (المعادلة 10.4، الصفحة 220) c S 0 كي - RT أوبتيونس، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 6 7 يضع: فرصة التحكيم لنفترض أن هناك فرصة المراجحة الخيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة 8، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 7 p 1 S 0 37 T 0.5 r 5 K 40 D 0 8 الحد الأدنى لليورو إين وضع الأسعار لا توزيعات الأرباح (المعادلة 10.5، الصفحة 221) p كه - RT S 0 الخيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 8 9 المساواة في المكالمة: لا توزيعات الأرباح النظر في المحافظتين التاليتين: المحفظة A: دعوة أوروبية على سندات صفرية القسيمة التي تدفع K في الوقت T محفظة C: الأوروبية وضعت على الأسهم الأسهم الخيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة 8، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 9 10 قيم المحافظ خيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة 8، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 201210 ست كس T كس T 11 نتيجة التكافؤ في المكالمة (المعادلة 10.6، صفحة 222) كلاهما يستحق ماكس (ست، K) عند استحقاق الخيارات ولذلك يجب أن تكون تستحق نفس اليوم. وهذا يعني أن c ك - rT p S 0 خيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة 8، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 11 12 لنفترض أن ما هي الاحتمالات المراجحة عندما ص 2.25. p 1. الخيارات، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 12 الفرص المراجحة c 3 S 0 31 T 0.25 r 10 K 30 D 0 13 حدود خيارات الخيارات الأوروبية أو الأمريكية (لا توزيعات الأرباح) العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 13 14 حدود خيارات الخيارات الأوروبية والعقود الآجلة الأمريكية (لا توزيعات الأرباح)، العقود الآجلة، وغيرها من المشتقات، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 201214 15 تأثير توزيعات الأرباح على الحدود الدنيا لأسعار الخيار (المعادلتان 10.8 و 10.9، الصفحة 229) الخيارات والمستقبلات وغيرها من المشتقات، الطبعة الثامنة، حقوق الطبع والنشر جون C. هول 2012 15 16 تمديدات التكافؤ بين الخيارات الأمريكية D 0 S 0 K 0 c D كي رت p S 0 المعادلة 10.10 ص. 230 خيارات أمريكية D 0 S 0 D K 0 c D كي رت p S 0 المعادلة 10.10 p. 230 خيارات أمريكية D 0 S 0 D K73323229-9-بروبيرتيز-أوف-ستوك-أوبتيونس - T إير بروبي: ريتيز. هذه هي نهاية المعاينة. اشترك للوصول إلى بقية المستند. معاينة النص غير المنسقة: T إير بروبي: رتيز أوف ستوك أوبتيونس في هذا الفصل، ننظر إلى العوامل المؤثرة على أسعار خيارات الأسهم. نحن نستخدم عددا من الحجج التحكيم المختلفة لاستكشاف العلاقات بين أسعار الخيارات الأوروبية وأسعار الخيارات الأمريكية، وأسعار الأسهم الأساسية. وأهم هذه العلاقات هو وضع المساواة بين الجنسين، وهي علاقة بين أسعار خيار الدعوة الأوروبية والأسعار الأوروبية وضع الخيار. ويتناول الفصل ما إذا كان ينبغي ممارسة الخيارات الأمريكية في وقت مبكر. فإنه يدل على أنه ليس من الأمثل أبدا لممارسة خيار الدعوة الأمريكية على الأسهم غير أرباح الأسهم قبل انتهاء الخيارات، ولكن في ظل بعض الظروف الممارسة في وقت مبكر للخيار الأمريكي وضع على هذا المخزون هو الأمثل. 9.1 العوامل التي تؤثر على خيارات الخيار هناك ستة عوامل تؤثر على سعر خيار الأسهم: 1. ذي 2. ذي 4. ذي 5. ذي 6. سعر السهم الحالي، حتى سعر الإضراب، k وقت لانتهاء، t تقلب من سعر السهم، (j سعر الفائدة الخالي من المخاطر، أرباح الأسهم المتوقعة خلال عمر الخيار في هذا القسم نأخذ في الاعتبار ما يحدث لأسعار الخيارات عندما يتغير أحد هذه العوامل، مع بقاء جميع العوامل الأخرى ثابتة، في الجدول 9-1 يوضح الشكلان 9.1 و 9.2 كيف تعتمد أسعار المكالمات الأوروبية والأسعار على العوامل الخمسة الأولى في الحالة حيث 50، K 50، r 5 في السنة، (ي 30 سنويا، T 1 سنة، وليس هناك في هذه الحالة يكون سعر المكالمة 7.116 وسعر الشراء هو 4.677 سعر السهم وسعر الإضراب إذا تم ممارسة خيار الاتصال في وقت ما في المستقبل فإن العائد سيكون المبلغ الذي يتجاوز سعر السهم سعر الإضراب وبالتالي تصبح أكثر قيمة كما أوكوت 206 الفصل 9 الجدول 9.1 ملخص ل ه تأثير على سعر خيار الأسهم لزيادة متغير واحد مع الحفاظ على جميع الآخرين ثابتة. متغير سعر السهم الحالي سعر الإضراب الوقت للانتهاء التقلب، معدل الخالية من المخاطر كمية من الأرباح المستقبلية الأوروبية الأوروبية الأمريكية دعوة المكالمة وضع وضع. يشير إلى أن زيادة المتغير يؤدي إلى زيادة سعر الخيار - يشير إلى أن الزيادة في المتغير يؤدي إلى انخفاض سعر الخيار 1 يشير إلى أن العلاقة غير مؤكدة. وارتفاع أسعار الأسهم وأقل قيمة مع ارتفاع سعر الإضراب. بالنسبة إلى خيار الشراء، فإن العائد على التمرين هو المبلغ الذي يتجاوز سعر الإضراب سعر السهم. وبالتالي، فإن خيارات الخيارات تتصرف بطريقة عكسية من خيارات المكالمة: فهي تصبح أقل قيمة مع ارتفاع سعر السهم وزيادة قيمته مع ارتفاع سعر ستريك. توضح الأشكال رقم 1 (أ) د الطريقة التي تعتمد بها أسعار البيع والنداء على سعر السهم و سعر الإضراب. وقت الانتهاء الآن النظر في تأثير تاريخ انتهاء الصلاحية. كل من وضع ودعوة الخيارات الأمريكية تصبح أكثر قيمة كلما زاد الوقت لانتهاء. لنفترض أن لدينا خيارين أمريكيين يختلفان فقط فيما يتعلق بتاريخ انتهاء الصلاحية. صاحب الخيار حياة طويلة لديه كل فرص ممارسة مفتوحة لمالك الخيار قصيرة - وأكثر من ذلك. ولذلك يجب أن يكون الخيار الطويل العمر دائما يستحق على الأقل بقدر ما هو الخيار حياة قصيرة. على الرغم من أن خيارات وضع ونداء الأوروبيين عادة ما تصبح أكثر قيمة كلما زاد وقت انتهاء الصلاحية (انظر، على سبيل المثال، الأشكال 9.1 (e، f))، هذا ليس هو الحال دائما. النظر في اثنين من خيارات الدعوة الأوروبية على الأسهم: واحد مع تاريخ انتهاء الصلاحية في 1 شهر، والآخر مع تاريخ انتهاء الصلاحية في 2 أشهر. لنفترض أنه من المتوقع أن يتم توزيع أرباح كبيرة جدا خلال 6 أسابيع. سوف تتسبب أرباح الأسهم في انخفاض سعر السهم، بحيث الخيار القصير الحياة يمكن أن تكون قيمة أكثر من الخيار حياة طويلة. التقلب يتم مناقشة الطريقة الدقيقة التي يتم بها تعريف التقلب في الفصل 13. وبشكل عام، فإن تقلب سعر السهم هو مقياس لمدى عدم التأكد من تحركات أسعار الأسهم في المستقبل. مع زيادة التقلب، فرصة أن الأسهم سوف تفعل بشكل جيد جدا أو سيئة للغاية يزداد. لمالك الأسهم، هذه النتائج اثنين تميل إلى تعويض بعضها البعض. ومع ذلك، هذا ليس كذلك لمالك مكالمة أو وضع. صاحب فوائد المكالمة، من الزيادات في الأسعار ولكن لديه خطر الهبوط المحدود في حالة انخفاض الأسعار لأن معظم المالك يمكن أن يخسر هو ثمن الخيار. وبالمثل، فإن صاحب فوائد وضع من انخفاض الأسعار، ولكن لديه مخاطر الهبوط محدودة في حالة 207 خصائص خيارات الأسهم من ارتفاع الأسعار. وبالتالي، فإن قيم النداءات (بكث) وتزيد بالتالي مع زيادة التقلبات (انظر الأشكال 9.2 (أ، ب)). سعر الفائدة الخالي من المخاطر يؤثر سعر الفائدة الخالي من المخاطر على سعر الخيار بطريقة أقل وضوحا. مع ارتفاع أسعار الفائدة في الاقتصاد، والعائد المتوقع من قبل المستثمرين من الأسهم تأثير التغيرات في سعر السهم، وسعر الإضراب، وتاريخ انتهاء الصلاحية على أسعار الخيارات عندما حتى 50، K 50، ص 5، و 30، و T 1. الشكل 10-1 سعر خيار االتصال، c سعر خيار الشراء، p 50 50 40 30 20 0 سعر السهم، لذلك سعر السهم، لذلك 10 0 20 60 80 20 100 80) أ (100) ب (سعر خيار االتصال، p 50 40 30 20 10 0 سعر اإلضراب، K 0 20 40 60 80 100 10 0 سعر اإلضراب، K 0 20 40) c (60 80 100) د (سعر خيار االتصال، ج سعر خيار الشراء، ص 10 10 8 8 6 6 4 4 2 0 0.0 وقت انتهاء الصلاحية، T 0.4 0.8 1.2 (ه) 1.6 2 0 0.0 وقت انتهاء الصلاحية، T 0.4 0.8 1.2 (f) 1.6 208 الفصل 9 الشكل 9.2 تأثير التغيرات في التقلبات ومعدلات الفائدة الخالية من المخاطر على وأسعار الخيار عندما حتى 50، K 50، ص 5، U 30، و T ل. سعر الخيار، c سعر الخيار، p 15 15 12 12 9 9 6 6 3 00 التقلب، كر () 20 10 30 40 50 3 0 0 التقلب، كر () 10 20 30 (a) 40 50 (b) سعر الخيار، ج سعر خيار الشراء، p 10 10 8 8 6 6 4 4 2 00 معدل الخالية من المخاطر، r () 2 4 6 8 (c) 00 2 معدل الخالية من المخاطر، r () 2 4 6 8 ) يميل إلى الزيادة. بالإضافة إلى ذلك، تنخفض القيمة الحالية لأي تدفقات نقدية مستقبلية يتلقاها صاحب الخيار. التأثير المشترك لهذين التأثيرين هو زيادة قيمة خيارات الاتصال وتقليل قيمة خيارات وضع (انظر الأشكال 9.2 (ج، د)). من المهم التأكيد على أننا نفترض أن أسعار الفائدة تتغير في حين تبقى جميع المتغيرات الأخرى على حالها، على وجه الخصوص نحن نفترض أن أسعار الفائدة تتغير في حين أن سعر السهم لا يزال هو نفسه. وفي الممارسة العملية، عندما ترتفع أسعار الفائدة (الانخفاض)، تميل أسعار الأسهم إلى الانخفاض (الارتفاع). يمكن أن يكون التأثير الصافي لزيادة سعر الفائدة وانخفاض سعر السهم المصاحب له هو تخفيض قيمة خيار المكالمة وزيادة قيمة خيار الشراء. وبالمثل. يمكن أن يكون التأثير الصافي لانخفاض سعر الفائدة والزيادة المصاحبة في سعر السهم زيادة قيمة خيار الاتصال وتقليل قيمة خيار الشراء. مقدار توزيعات األرباح المستقبلية إن توزيعات األرباح لها تأثير على تخفيض سعر السهم في تاريخ توزيعات األرباح. هذا هو الخبر السيئ لقيمة خيارات الدعوة والأخبار الجيدة لقيمة خيارات وضع. وبالتالي فإن قيمة خيار الاتصال ترتبط سلبا بحجم الأرباح المتوقعة في المستقبل، وقيمة خيار الشراء ترتبط ارتباطا إيجابيا بحجم توزيعات الأرباح المستقبلية المتوقعة. 209 خیارات خیارات الأسھم 9.2 الافتراضات والتعلیقات في ھذا الفصل سنقوم بعمل افتراضات مماثلة لتلك التي تم الحصول علیھا لاستخلاص الأسعار الآجلة والمستقبلیة في الفصل الخامس. نفترض أن ھناك بعض المشارکین في السوق، مثل بنوك الاستثمار الکبیرة، هي صحيحة: 1. لا توجد تكاليف المعاملات. 2. تخضع جميع الأرباح التجارية (صافي خسائر التداول) لنفس معدل الضريبة. 3 - يمكن الاقتراض والإقراض بأسعار فائدة خالية من المخاطر. نحن نفترض أن هؤلاء المشاركين في السوق مستعدون للاستفادة من فرص المراجحة عند نشوئها. وكما هو مبين في الفصلين الأول والخامس، فإن هذا يعني أن أي فرص متاحة للمراجحة تختفي بسرعة كبيرة. ولأغراض تحليلنا، فمن المنطقي افتراض أنه لا توجد فرص للمراجحة. سنقوم باستخدام التدوين التالي: لذا: سعر السهم الحالي K: سعر الإضراب للخيار T: وقت انتهاء صلاحية الخيار ست: سعر السهم عند الاستحقاق r: معدل الفائدة الخالي من المخاطر المتفاقم باستمرار لاستحقاق الاستثمار في الوقت المناسب T c: قيمة خيار الشراء األمريكي لشراء سهم واحد P: قيمة خيار الشراء األمريكي لبيع سهم واحد ج: قيمة خيار االتصال األوروبي لشراء سهم واحد: قيمة خيار الشراء األوروبي لبيع سهم واحد تجدر اإلشارة إلى أن r هو معدل الفائدة الاسمية، وليس المعدل الحقيقي للفائدة. يمكننا أن نفترض أن رجت O. خلاف ذلك، فإن الاستثمار الخالي من المخاطر لن توفر أي مزايا على النقد. (في الواقع، إذا كانت القيمة صفر، فإن النقد سيكون أفضل من الاستثمار الخالي من المخاطر). 9.3 الحد الأدنى والأدنى لأسعار الخيارات نستمد في هذا القسم الحدود العليا والسفلى لأسعار الخيارات. ولا تعتمد هذه الحدود على أي افتراضات معينة بشأن العوامل المذكورة في القسم 1.9 (باستثناء r غ 0). إذا كان سعر الخيار أعلى من الحد الأعلى أو أسفل الحد الأدنى، فهناك فرص مربحة للمراجحين. الحدود العليا خيار خيار أمريكي أو أوروبي يعطي حامل الحق في شراء حصة واحدة من الأسهم بسعر معين. بغض النظر عن ما يحدث، لا يمكن أبدا أن يكون الخيار يستحق أكثر من الأسهم. وبالتالي، فإن سعر السهم هو الحد الأعلى لسعر الخيار: ج إذا كانت هذه العلاقات غير صحيحة، يمكن للمراجح أن يحقق بسهولة ربحا من دون مخاطر عن طريق شراء الأسهم وبيع خيار المكالمة. 210 الفصل 9 یمنح الخیار الأمیرکي أو الأوروبي للحامل الحق في بیع حصة واحدة من المخزون ل K. وبغض النظر عن انخفاض سعر السھم، فإن الخیار لا یمکن أن یکون أکثر من ک. ، ونحن نعلم أنه عند النضج لا يمكن أن يكون الخيار يستحق أكثر من K. ويترتب على ذلك أنه لا يمكن أن يكون يستحق أكثر من القيمة الحالية لل K اليوم. إذا لم يكن ذلك صحيحا، يمكن للمراجح أن يحقق ربحا من دون مخاطر عن طريق كتابة الخيار واستثمار عائدات البيع بسعر الفائدة الخالي من المخاطر. الحد الأدنى للمكالمات على الأسهم غير توزيعات الأرباح إن الحد الأدنى لسعر خيار النداء الأوروبي على الأسهم التي لا توزع أرباحا هو ويكوت ننظر أولا إلى مثال عددي ثم ننظر في حجة أكثر رسمية. لنفترض أن ذلك 20، K 18، ص 10 في السنة، و T 1 سنة. في هذه الحالة، لذلك - كيرت 20 - 18e-O. 1 3.71 أو 3.71. النظر في الوضع حيث سعر النداء الأوروبي هو 3.00، وهو أقل من الحد الأدنى النظري من 3.71. يمكن للمراجح أن يقصر المخزون ويشتري المكالمة لتوفير تدفقات نقدية من 20.00 - 3.00 17.00. إذا استثمرت لمدة 1 سنة في 10 في السنة، و 17.00 ينمو إلى 17eo. 1 18.79. في نهاية العام، تنتهي صلاحية الخيار. إذا كان سعر السهم أكبر من 18.00، فإن المراجح يمارس الخيار ل 18.00، يغلق الموقف القصير، ويجعل ربح 18.79 - 18.00 0.79 إذا كان سعر السهم أقل من 18.00، يتم شراء الأسهم في السوق و يتم إغلاق موقف قصير بها. ثم التحكيم يجعل ربح أكبر. على سبيل المثال، إذا كان سعر السهم 17.00، فإن ربح المراجحة هو 18.79 - 17.00 1.79 للحصول على حجة أكثر رسمية، نعتبر المحفظتين التاليتين: المحفظة A: خيار واحد للدعوة الأوروبية بالإضافة إلى مبلغ نقدي مساو لمحفظة كرت B : سهم واحد في محفظة A، والنقدية، إذا تم استثمارها في معدل الفائدة الخالية من المخاطر، وسوف تنمو إلى K في الوقت T. إذا ست غ K، يتم ممارسة خيار الدعوة عند الاستحقاق و بورتفبليو A يستحق ست إذا ست لوت K، ينتهي خيار المكالمة لا قيمة له، والمحفظة تستحق K. وبالتالي، في الوقت T، محفظة A يستحق ماكس (ست K) محفظة B يستحق ست في الوقت T. وبالتالي، محفظة A هو دائما يستحق بقدر، و 211 خصائص خيارات الأسهم يمكن أن يكون يستحق أكثر من، محفظة في خيارات النضج. ويترتب على ذلك أنه في غياب فرص المراجحة هذا يجب أن يكون صحيحا اليوم أيضا. سياج، c كرت لذلك أو لأن أسوأ ما يمكن أن يحدث لخيار الاتصال هو أنه تنتهي لا قيمة لها، قيمته لا يمكن أن تكون سلبية. وهذا يعني أن c 0 وبالتالي c ماكس (سو - كرت 0) (9.1) مثال 9.1 النظر في خيار الدعوة الأوروبية على الأسهم غير توزيعات الأرباح عندما يكون سعر السهم 51، وسعر الإضراب هو 50، و والوقت اللازم للاستحقاق هو 6 أشهر، ومعدل الفائدة المخاطرة هو 12 في السنة. في هذه الحالة، لذلك 51، K 50، T 0.5، و رت r 0.12. من المعادلة (9.1)، الحد الأدنى لسعر الخيار هو ذلك - Ke-. أو 51 - 50e-O.12x0.5 3.91 أدنى سعر للأوروبية يضع على الأسهم غير توزيعات الأرباح لخيار الأوروبي وضع على الأسهم غير توزيعات الأرباح، والحد الأدنى للسعر هو مرة أخرى، ونحن أولا النظر في مثال عددي ثم ننظر إلى حجة أكثر رسمية. لنفترض أنه حتى 37، K 40، ص 5 في السنة، و T 0.5 سنوات. في هذه الحالة، كيرت - حتى 40e-O.05xO.5 - 37 2.01 النظر في الوضع. حيث وضع سعر الأوروبية 1.00، وهو أقل من الحد الأدنى النظري من 2.01. يمكن للمراجح استعارة 38.00 لمدة 6 أشهر لشراء كل من وضع والأسهم. في نهاية 6 أشهر، سيطلب من المراجح سداد 38eo.05xO.5 38.96. إذا كان سعر السهم أقل من 40.00، و أربتريجور يمارس خيار لبيع الأسهم لمدة 40.00، يسدد القرض، ويجعل ربح 40.00 - 38.96 1.04 إذا كان سعر السهم أكبر من 40.00، والمراجح يرفضون الخيار، وبيع الأسهم، ويسدد القرض لتحقيق ربح أكبر. على سبيل المثال، إذا كان سعر السهم هو 42.00، فإن ربح المراجحة هو. 42.00 - 38.96 3.04 للحصول على حجة أكثر رسمية، نعتبر الحافظتين التاليتين: المحفظة ج: خيار واحد في أوروبا مع حصة واحدة الحافظة D: مبلغ نقدي يساوي كرت إذا كان لوت K، فإن الخيار في المحفظة C في استحقاق الخيار، وتصبح المحفظة قيمة K. إذا ست غ K، ثم خيار وضع تنتهي لا قيمة لها، ومحفظة الفصل 9 9 يستحق ست في هذا الوقت. وبالتالي، فإن المحفظة C تستحق الحد الأقصى (ست K) في الوقت المناسب T. وعلى افتراض أن النقدية تستثمر بسعر الفائدة الخالي من المخاطر، فإن المحفظة D تستحق K في الوقت T. وبالتالي، فإن المحفظة C تستحق دائما بقدر ما تستطيع في بعض الأحيان أكثر من، محفظة D في الوقت T. ويترتب على ذلك أنه في غياب محفظة الفرص المراجحة C يجب أن يكون يستحق على الأقل بقدر محفظة D اليوم. ومن ثم، فإن أسوأ ما يمكن أن يحدث للخيار هو أن تنتهي صلاحيته، لا يمكن أن تكون قيمته سالبة. وهذا يعني أن p ماكس (كي-رت - سو، 0) (9.2) مثال 9.2: النظر في خيار وضع الأوروبي على الأسهم غير توزيعات الأرباح عندما يكون سعر السهم 38، سعر الإضراب هو 40، هو 3 أشهر، ومعدل الفائدة الخالية من المخاطر هو 10 في السنة. في هذه الحالة حتى 38، K 40، T 0.25، و r 0.10. من المعادلة (9.2)، الحد الأدنى لسعر الخيار، هو كيرت - لذا، أو 40e-O. lxO.25 - 38 1.01 9.4 بوت-كال باريتي نحن الآن نستمد علاقة مهمة بين p و c. النظر في المحفظتين التاليتين اللتين تم استخدامهما في القسم السابق: المحفظة A: خيار واحد للدعوة الأوروبية بالإضافة إلى مبلغ نقدي يساوي كي-رت المحفظة C: خيار وضع أوروبي واحد بالإضافة إلى سهم واحد كلاهما يستحق الحد الأقصى (ست، K) عند انتهاء الخيارات. لأن الخيارات الأوروبية، فإنها لا يمكن أن تمارس قبل تاريخ انتهاء الصلاحية. ولذلك يجب أن يكون للمحافظ قيم متطابقة اليوم. تليس يعني أن (9.3) بيزو كسو تعرف هذه العلاقة بالتكافؤ القائم على المكالمة. وهو يبين أن قيمة النداء الأوروبي مع سعر الإضراب معين وتاريخ ممارسة يمكن استخلاصها من قيمة وضع الأوروبي مع نفس سعر الإضراب وتاريخ ممارسة، والعكس بالعكس. إذا كانت المعادلة (9.3) لا تعقد، وهناك فرص المراجحة افترض أن سعر السهم هو 31، وسعر الإضراب هو 30، ومعدل الفائدة الخالية من المخاطر هو 10 في السنة، وسعر خيار الاتصال الأوروبي لمدة 3 أشهر هو 3 ، وسعر خيار بليت الأوروبي لمدة ثلاثة أشهر هو 2.25. في هذه الحالة، c كرت 3 30e-O. lx3jI2 32.26 213 خصائص خیارات المخزون و p لذلك 2.25 31 33.25 المحفظة C مبالغ فیھا بالنسبة للمحفظة أ. إستراتیجیة المراجحة الصحیحة ھي شراء الأوراق المالیة في المحفظة (أ) واختصار الأوراق المالية في محفظة C. وتشمل استراتيجية شراء المكالمة وتقصير كل من وضع والأوراق المالية، وتوليد تدفق نقدي إيجابي من -3 2.25 31 30.25 في الجبهة. عندما تستثمر في سعر الفائدة الخالية من المخاطر، هذا المبلغ ينمو إلى 30.25eo. lxO.25 31.02 في 3 أشهر. إذا كان سعر السهم عند انتهاء صلاحية الخيار أكبر من 30، سيتم ممارسة المكالمة وإذا كان أقل من 30، سيتم ممارسة وضع. في كلتا الحالتين، ينتهي المستثمر بشراء سهم واحد لمدة 30. ويمكن استخدام هذه الحصة لإغلاق الصفقة القصيرة. وبالتالي فإن صافي الربح هو 31.02 - 30.00 1.02 بالنسبة للحالة البديلة، لنفترض أن سعر المكالمة هو 3 وسعر الشراء هو 1. في هذه الحالة، C كرت 3 30e-O. lx312 32.26 و p سو 1 31 32.00 بورتفوليو (أ) مبالغ فيها بالنسبة للمحفظة (ج). ويمكن للمراجح أن يقصر الأوراق المالية في المحفظة "ألف" وأن يشتري الأوراق المالية في المحفظة "ج" لتتحقق أرباحا. وتتضمن الاستراتيجية الجدول 9-2 فرص المراجحة عندما لا يحتفظ بالتساوي. سعر السهم 31 سعر إنتيرسف سعر 10call 3. كلا وضع والدعوة لديها سعر الإضراب من 30 و 3 أشهر إلى النضج. 3-مولث وضع السعر 2.25 تولي-مولث وضع السعر 1 العمل نول: شراء دعوة ل 3 وضع قصيرة لتحقيق 2.25 قصيرة الأسهم لتحقيق 31 استثمار 30.25 لمدة 3 أشهر العمل نول: الاقتراض 29 لمدة 3 أشهر دعوة قصيرة لتحقيق 3 شراء وضع ل 1 شراء الأسهم لمدة 31 العمل في 3 أشهر إذا ست غ 30: تلقي 31.02 من الاستثمار دعوة دعوة لشراء الأسهم لمدة 30 صافي الربح 1.02 العمل في 3 أشهر إذا ست غ 30: دعوة تمارس: بيع الأسهم لمدة 30 استخدام 29.73 لسداد القرض صافي الربح 0.27 العمل في 3 أشهر إذا كان لوت 30: تلقي 31.02 من الاستثمار وضع ممارسة: شراء الأسهم لمدة 30 صافي الربح 1.02 العمل في 3 أشهر إذا ست لوت 30: ممارسة بيع لبيع الأسهم ل 3 استخدام 29.73 لسداد القرض صافي الربح 0.27 214 الفصل 9 لقطة العمل 9.1 تعادل سعر المكالمة وهيكلة رأس المال كان رواد تسعير الخيارات فيشر بلاك ومايرون سكولز وروبرت ميرتون. وفي أوائل السبعينيات، بينوا أن الخيارات يمكن استخدامها لتوصيف هيكل رأس مال الشركة. اليوم هذا النموذج يستخدم على نطاق واسع من قبل المؤسسات المالية لتقييم مخاطر الائتمان للشركة. لتوضيح النموذج، ضع في اعتبارك شركة لديها أصول تمول بسندات وقسائم صفرية القسيمة. لنفترض أن السندات تنضج في 5 سنوات في ذلك الوقت مطلوب دفع الرئيسي لل K. ولا تدفع الشركة أي أرباح. إذا كانت األصول تستحق أكثر من K خالل 5 سنوات، يختار املساهمون سداد حاملي السندات. إذا كانت قيمة الأصول أقل من. K، فإن أصحاب الأسهم يختارون إعلان الإفلاس وينتهي أصحاب السندات في نهاية المطاف إلى امتلاك الشركة. وبالتالي فإن قيمة حقوق الملكية في 5 سنوات هي الحد الأقصى (A T - K، 0)، حيث أت هو قيمة أصول الشركة في ذلك الوقت. وهذا يدل على أن أصحاب الأسهم لديها خيار الاتصال الأوروبي لمدة 5 سنوات على أصول الشركة مع سعر الإضراب من K. ماذا عن حملة السندات أنها تحصل على دقيقة (A T. K) في 5 سنوات. هذا هو نفس K - ماكس (K - أت، 0). وقد منح حاملي السندات للمساهمين الحق في بيع أصول الشركة لهم ل K في 5 سنوات. وبالتالي فإن السندات تستحق القيمة الحالية لل K ناقص قيمة الخيار الأوروبي لمدة 5 سنوات وضع على الأصول مع سعر الإضراب من K. تلخيص، إذا ج و p هي قيمة المكالمة ووضع الخيارات، على التوالي، ثم قيمة الأسهم ج قيمة الدين بف (K) - P تدل على قيمة أصول الشركة اليوم من قبل A. ويجب أن تساوي قيمة الأصول القيمة الإجمالية للأدوات المستخدمة لتمويل الأصول. وهذا يعني أنه يجب أن يساوي مجموع قيمة الأسهم وقيمة الدين، بحيث أو إعادة ترتيب هذه المعادلة، ونحن c بف (K) - p أفي c c (K) p س هذا هو وضع، نتيجة التكافؤ إيل في المعادلة (9.3) للدعوة ووضع الخيارات على أصول الشركة. تقصير المكالمة وشراء كل من المخزون والأوراق المالية مع استثمار أولي 31 1 - 3 29 عندما يتم تمويل الاستثمار بسعر الفائدة الخالية من المخاطر، مطلوب سداد 2geo. lxo.25 29.73 في نهاية 3 الشهور. كما هو الحال في الحالة السابقة، إما سيتم إجراء المكالمة أو وضع. وبالتالي فإن المكالمة القصيرة وطويلة وضع الخيار وضع يؤدي إلى الأسهم التي تباع ل 30.00. وبالتالي فإن صافي الربح هو 30.00 - 29.73 0.27 وترد هذه الأمثلة في الجدول 9.2. توضح لقطات الأعمال 9.1 كيف يمكن أن تساعدنا الخيارات والتكافؤ في وضعنا على فهم مواقف الدين وأصحاب الأسهم في الشركة. 215 خصائص خيارات الأسهم خيارات أمريكية وضع - التكافؤ الدعوة يحمل فقط للخيارات الأوروبية. ومع ذلك، فمن p6ssible لاستخلاص بعض النتائج لأسعار الخيارات الأمريكية. K - كي - RT (9.4) مثال 9.3 خيار طلب أمريکي علی مخزون غیر مدفوع للأرباح مع سعر الإضراب 20.00 واستحقاق في 5 أشهر يستحق 1.50. لنفرض أن سعر السهم الحالي هو 19.00 و معدل الفائدة الخالية من المخاطر هو 10 في السنة. من المعادلة (9.4)، لدينا 19-20 20 - 20e-O. lx5jI2 أو 1 0.18 تبين أن P - C تقع بين 1.00 و 0.18. مع C في 1.50، P يجب أن تقع بين 1.68 و 2.50. وبعبارة أخرى، الحدود العلوية والسفلية لسعر الأمريكي وضعت بنفس سعر الإضراب وتاريخ انتهاء الصلاحية كما المكالمة الأمريكية هي 2.50 و 1.68. 9-5 املمارسة املبكرة: األوراق املالية املخزونة يف األوراق املالية غري املوزعة يوضح هذا القسم أنه ال يكون من األمثل مثاليا ممارسة خيار االستدعاء األمريكي يف املخزون الذي ال يوزع أرباحه قبل تاريخ انتهاء الصالحية. لتوضيح الطبيعة العامة للحجة، يجب النظر في خيار دعوة أمريكية على الأسهم التي لا توزع أرباحا مع شهر واحد لانتهاء الصلاحية عندما يكون سعر السهم 50 و سعر الإضراب هو 40. الخيار عميق في المال، و المستثمر الذي يملك الخيار قد يميل إلى ممارسة ذلك على الفور. ومع ذلك، إذا كان المستثمر يخطط لعقد الأسهم عطلت من خلال ممارسة الخيار لأكثر من 1 شهر، وهذا ليس أفضل استراتيجية. وأفضل مسار للعمل هو الحفاظ على الخيار وممارسته في نهاية الشهر. ثم يتم دفع سعر الإضراب 40 بعد 1 شهر في وقت لاحق مما لو كان الخيار يمارس على الفور، بحيث يتم كسب الفائدة على 40 لمدة 1 شهر. لأن الأسهم لا تدفع أي أرباح، لا يتم التضحية أي دخل من الأسهم. وهناك ميزة أخرى للانتظار بدلا من ممارسة فورا هي أن هناك فرصة (ولكن بعيد) أن سعر السهم سوف ينخفض ​​إلى أقل من 40 في 1 الشهر. في هذه الحالة، فإن المستثمر لن يمارس في 1 شهر، وسوف نكون سعداء أن قرار ممارسة في وقت مبكر لم تؤخذ هذه الحجة يدل على أنه لا توجد مزايا لممارسة في وقت مبكر إذا كان المستثمر يخطط للحفاظ على المخزون لبقية عمر الخيار (1 شهر، في هذه الحالة). ماذا لو كان المستثمر يعتقد أن السهم مبالغ فيه حاليا ويتساءل عما إذا كان ممارسة الخيار وبيع الأسهم في هذه الحالة، المستثمر هو أفضل حالا بيع الخيار من ممارسة ذلك. ل سيتم شراء الخيار من قبل مستثمر آخر الذي لا يرغب في الاحتفاظ بالمخزون. يجب أن يكون هؤلاء المستثمرين موجودين: وإلا فإن سعر السهم الحالي لن يكون 50. سيكون السعر الذي تم الحصول عليه للخيار أكبر من قيمته الجوهرية البالغة 10، للأسباب المذكورة سابقا. I كاستراتيجية بديلة، يمكن للمستثمر الحفاظ على الخيار وقصيرة الأسهم لقفل في ربح أفضل من سيو. 216 الفصل 9 تغيري سعر خيار املكاملات األمريكية أو األوروبية عىل أسهم غير مدفوعة األرباح مع سعر السهم، لذلك. الشكل 9.3 سعر خيار االتصال K سعر السهم، لذا للحصول على حجة أكثر رسمية، يمكننا استخدام المعادلة) 9.1 (: c لذا - كيرت بيكا. استخدام مالك المكالمة األمريكية لديه كل فرص التدريب المفتوحة لمالك إذا كان من الأفضل ممارسة الرياضة في وقت مبكر، C تساوي ذلك - K. ونحن نستنتج أنه لا يمكن أبدا يكون الأمثل لممارسة في وقت مبكر. ويوضح الشكل 9.3 الطريقة العامة التي يختلف فيها سعر النداء مع ذلك. وهو يشير إلى أن سعر المكالمة هو دائما فوق قيمتها الجوهرية من ماكس (لذلك - K، 0). كما R أو T أو التقلبات يزيد، خط يتصل سعر النداء إلى سعر السهم يتحرك في الاتجاه المشار إليه من قبل الأسهم (أي أبعد من القيمة الجوهرية). وباختصار، هناك سببان لا ينبغي أن تمارس في وقت مبكر الدعوة الأمريكية على الأسهم غير الربحية. أحدهما يتعلق بالتأمين الذي يوفره. خيار المكالمة، عند الاحتفاظ به بدلا من المخزون نفسه، في الواقع يضمن حامل مقابل سعر السهم دون سعر الإضراب. وبمجرد ممارسة الخيار وتم تبادل سعر الإضراب لسعر السهم، فإن هذا التأمين يتلاشى. والسبب الآخر يتعلق بقيمة الوقت من المال. من وجهة نظر حامل الخيار، في وقت لاحق يتم دفع ثمن الإضراب، كان ذلك أفضل. 9.6 التمرين المبكر: وضع حصص غير توزيعات نقدية يمكن أن يكون الخيار األمثل هو ممارسة خيار األميركيين على أسهم غير ربحية. في الواقع، في أي وقت من الأوقات خلال حياته، يجب دائما أن يمارس خيارا في وقت مبكر إذا كان عميقا بما فيه الكفاية في المال. 217 خصائص خيارات الأسهم لتوضيح ذلك، ضع في اعتبارك وضعا متطرفا. لنفترض أن سعر الإضراب هو 10 وسعر السهم هو تقريبا صفر. من خلال ممارسة الفور، المستثمر يحقق مكاسب فورية من 10. إذا كان المستثمر ينتظر، قد يكون الربح من ممارسة أقل من 10، ولكن لا يمكن أن يكون أكثر من 10 لأن أسعار الأسهم السلبية مستحيلة. وعلاوة على ذلك، تلقي 10 الآن أفضل من تلقي 10 في المستقبل. ويترتب على ذلك أن الخيار ينبغي أن يمارس على الفور. مثل خيار المكالمة، يمكن النظر إلى خيار وضع على أنه توفير التأمين. وهناك خيار وضع، عندما عقدت بالاقتران مع الأسهم، ويضمن حامل ضد انخفاض سعر السهم أقل من مستوى معين. However, a put option is different from a call option in that it may be optimal for an investor to forgo this insurance and exercise early in order to realize the strike price immediately. In general, thy early exercise of a put option becomes more attractive as So decreases, as r increases, and as the volatility decreases. It will be recalled from equation (9.2) that For an American put with price P, the stronger condition P K - So must always hold because immediate exercise is always possible. Figure 9.4 shows the general way in which the price of an American put varies with So. Provided that rgt 0, it is always optimal to exercise an American put immediately when the stock price is sufficiently low. When early exercise is optimal, the value of the option is K - So. The curve representing the value of the put therefore merges into the puts intrinsic value, K - So, for a sufficiently small value of So. In Figure 9.4, this value of So is shown as point A. The line relating the put price to the stock price moves in the direction indicated by the arrows when r decreases, when the volatility increases, and when T increases. Because there are some circumstances when it is desirable to exercise an American put option early, it follows that an American put option is always worth more than the Figure 9.4 Variation of price of an American put option with stock price, So. American put price quot. A. K Stock price, So 218 CHAPTER 9 Figure 9.5 Variation of price of a European put option with the stock price, So. European put price E quotquot. مثل. quot B K Stock price, So corresponding European put option. Furthermore, because an American put is sometimes worth its intrinsic value (see Figure 9.4), it follows that a European put option must sometimes be worth less than its intrin. sic value. Figure 9.5 shows the variation of the European put price with the stock price. Note that point B in Figure 9.5, at which the price of the option is equal to its intrinsic value, must represent a higher value of the stock price than point A in Figure 9.4. Point E in Figure 9.5 is where So 0 and the European put price is Ke-r 9.7 EFFECT OF DIVIDENDS The results produced so far in this chapter have assumed that we are dealing with options on a non-dividend-paying stock. In this section we examine the impact of dividends. In the United States most exchange-traded stock options have a life of less than 1 year and dividends payable during the life of the option can usually be predicted with reasonable accuracy. We will use D to denote the present value of the dividends during the life of the option. In the calculation of D, a dividend is assumed to occur at the time of its ex-dividend date. lower Bound for Calls and Puts We can redefine portfolios A and B as follows: Portfolio A: one European call option plus an amount of cash equal to D Ke - rT Portfolio B: one share A similar argument to the one used to derive equation (9.1) shows that c So - D - Ke - rT (9.5) 219 Properties of Stock Options We can also redefine portfolios C and D as follows: Portfolio C: one European put option plus one share Portfolio D: an amount of cash equal to D Ke - rT A similar argument to the one used to derive equation (9.2) shows that p D Ke-rT - So (9.6) Early Exercise When dividends are expected, we can no longer assert than an American call option will not be exercised early. Sometimes it is optimal to exercise an American call immediately prior to an ex-dividend date. It is never optimal to exercise a call at other times. This point is discussed further in the appendix to Chapter 13. Put-Call Parity Comparing the value at option maturity of the redefined portfolios A and C shows that, with dividends, the put-eall parity result in equation (9.3) becomes cDKe-rT pSo (9.7) Dividends cause equation (9.4) to be modified (see Problem 9.19) to So - D - K. C - p. So - Ke - rT (9.8) SUMMARY There are six factors affecting the value of a stock option: the current stock price, the strike price, the expiration date, the stock price volatility, the risk-free interest rate, and the dividends expected during the life of the option. The value of a call generally increases as the current stock price, the time to expiration, the volatility, and the riskfree interest rate increase. The value of a call decreases as the strike price and expected dividends increase. The value of a put generally increases as the strike price, the time to expiration, the volatility, and the expected dividends increase. The value of a put decreases as the current stock price and the risk-free interest rate increase. It is possible to reach some co. ndusions about the value of stock options without making any assumptions about the volatility of stock prices. For example, the price of a call option on a stock must always be worth less than the price of the stock itself. Similarly, the price of a put option on a stock must always be worth less than the options strike price. A European call option on a non-dividend-paying stock must be worth more than max(So - Ke - rT. 0) where So is the stock price, K is the strike price, r is the risk-free interest rate, and Tis the time to expiration. A European put option on a non-dividend-paying stock must be 220 CHAPTER 9 worth more than max(Ke-rT - So, 0) When dividends with present value D will be paid, the lower bound for a European call option becomes max(So - D - Ke - rT. 0) and the lower bound for a European put option becomes max(Ke-rT D - So, 0) Put-eall parity is a relationship between the price, c, of a European call option on a stock and the price, p, of a European put option on a stock. For a non-dividend-paying stock, it is cKe-rT pSo For a dividend-paying stock, the put-eall parity relationship is cDKe - rT pSo Put-call parity does not hold for American options. However, it is possible to use arbitrage arguments to obtain upper and lower bounds for the difference between the price of an American call and the price of an American put. In Chapter 13, we will carry the analyses in this chapter further by making specific assumptions about the probabilistic behavior of stock prices. The analysis will enable us to derive exact pricing formulas for European stock options. In Chapters 11 and 17, we will see how numerical procedures can be used to price American options. FURTHER READING Black, F. and M. Scholes. quotThe Pricing of Options and Corporate Liabilities, quot Journal oj Political Economy, 81 (MayjJune-1973): 637-59. Broadie, M. and J. Detemple. quotAmerican Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods, quot Review oj Financial Studies, 9, 4 (1996): 1211-50. Merton, R. c. quotOn the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates, quot Journal oj Finance, 29, 2 (1974): 449-70. Merton, R. C. quotTheory of Rational Option Pricing, quot Bell Journal oj Economics and Management Science, 4 (Spring 1973): 141-83. Merton, R. C. quotThe Relationship between Put and Call Prices: Comment, quot Journal oj Finance, 28 (March 1973): 183-84. Stoll, H. R. quotThe Relationship between Put and Call Option Prices, quot Journal oj Finance, 31 (May 1969): 319-32. Questions and Problems (Answers in Solutions Manual) 9.1. List the six factors that affect stock option prices. 9.2. What is a lower bound for the price of a 4-month call option on a non-dividend-paying stock - when the stock price is 28, the strike price is 25, and the risk-free interest rate is 8 per annum Properties of Stock Options 221 9.3. What is a lower bound for the pric of a I-month European put option on a nondividend-paying stock when the stock price is 12, the strike price i 15, and the risk-free interest rate is 6 per annum 9.4. Give two reasons why the early exercise of an American call option on a non-dividendpaying stock is not optimal. The first reason should involve the time value of money. The second should apply even if interest rates are zero. 9.5. quotThe early exercise of an American put is a trade-off between the time value of money and the insurance value of a put. quot Explain this statement. 9.6. Explain why an American call option on a dividend-paying stock is always worth at least as much as its intrinsic value. Is the same true of a European call option Explain your answer. 9.7. The price of a non-dividend-paying stock is 19 and the price of a 3-month European call option on the stock with a strike price of 20 is 1. The risk-free rate is 4 per annum. What is the price of a 3-month European put option with a strike price of 20 9.8. Explain why the arguments leading to put-call parity for Eur()pean options cannot be used to give a similar result for American options. 9.9. What is a lower bound for the price of a 6-month call option on a non-dividend-paying stock when the stock price is 80, the strike price is 75, and the risk-free interest rate is 10 per annum 9.10. What is a lower bound for the price of a 2-month European put option on a nondividend-paying stock when the stock price is 58, the strike price is 65, and the risk-free interest rate is 5 per annum 9.11. A 4-month European call option on a dividend-paying stock is currently selling for 5. The stock price is 64, the strike price is 60, and a dividend of 0.80 is expected in 1 month. معدل الفائدة الخالية من المخاطر هو 12 في السنة لجميع آجال الاستحقاق. What opportunities are there for an arbitrageur 9.12. A I-month European put option on a non-dividend-paying stock is currently selling for 2.50. The stock price is 47, the strike price is 50, and the risk-free interest rate is 6 per annum. What opportunities are there for an arbitrageur 9.13. Give an intuitive explanation of why the early exercise of an American put becomes more attractive as the risk-free rate increases and volatility decreases. 9.14. The price of a European call that expires in 6 months and has a strike price of 30 is 2. The underlying stock price is 29, and a dividend of 0.50 is expected in 2 months and again in 5 months. The term structure is flat, with all risk-free interest rates being 10. What is the price of a European put option that expires in 6 months and has a strike price of 30 9.15. Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.14 if the European put price is 3. 9.16. The price of an American call on a non-dividend-paying stock is 4. The stock price is 31, the strike price is 30, and the expiration date is in 3 months. The risk-free interest rate is 8. Derive upper and lower bounds for the price of an American put on the same stock with the same strike price and expiration date. 9.17. Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.16 if the American put price is greater than the calculated upper bound. 222 CHAPTER 9 9.18. Prove the result in equation (9.4). (Hint: For the first part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to K, and (b) a portfolio consisting of an American put option plus one share.) 9.19. Prove the result in equation (9.8). (Hint: For the first part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to D K, and (b) a portfolio consisting of an American put option plus one share.) 9.20. Regular call options on non-dividend-paying stocks should not be exercised early. However, there is a tendency for executive stock options to be exercised early even when the company pays no dividends (see Business Snapshot 8.3 for a discussion of executive stock options). Give a possible reason for this. 9.21. Use the software DerivaGem to verify that Figures 9.1 and 9.2 are correct. Assignment Questions 9.22. A European call option and put option on a stock both have a strike price of 20 and an expiration date in 3 months. Both sell for 3. The risk-free interest rate is 10 per annum, the current stock price is 19, and a 1 dividend is expected in I month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader. 9.23. Suppose that Cl, Cl, and C3 are the prices of European call options with strike prices K 1, K2, and K3, respectively, where K 3 gt K2gt Kt and K 3 - K2 K2 - K 1 All options have the same maturity. Show that C2. s 0.5(cl C3) (Hint: Consider a portfolio that is long one option with strike price KI, long one option with strike price K3, and short two options with strike price K2) 9.24. What is the result corresponding to that in Problem 9.23 for European put options 9.25. Suppose that you are the manager and sole owner of a highly leveraged company. All the debt will mature in 1 year. If at that time the value of the company is greater than the face value of the debt, you will payoff the debt. If the value of the company is less than the face value of the debt, you will declare bankruptcy and the debt holders will own the company. (a) Express your position as an option on the value of the company. (b) Express the position of the debt holders in terms of options on the value of the company. (c) What can you do to increase the value of your position 9.26. Consider an option on a stock when the stock price is 41, the strike price is 40, the riskfree rate is 6, the volatility is 35, and the time to maturity is 1 year. Assume that a dividend of 0.50 is expected after 6 months. (a) Use DerivaGem to value the option assuming it is a European call. (b) Use DerivaGem to value the option assuming it is a European put. (c) Verify that put-eall parity holds. (d) Explore using DerivaGem what happens to the price of the options as the time to maturity becomes very large. For this purpose, assume there are no dividends. Explain the results you get. View Full Document This note was uploaded on 01302012 for the course MATH 174 taught by Professor Donblasius during the Spring 03911 term at UCLA.